Aproximación de Pi por Arquímedes

Introducción

El cálculo de la constante del círculo, $\pi$, ha sido uno de los desafíos más persistentes en la historia de las matemáticas. Antes del advenimiento del cálculo infinitesimal, Arquímedes de Siracusa ideó en su obra Sobre la medida del círculo un método algorítmico brillante para acotar este valor.

La idea central de Arquímedes fue explotar la geometría de la circunferencia. Debemos partir del hecho de que el área de una circunferencia está dada por:

$$A_{\text{circulo}} = \pi r^2$$

El método consiste en encerrar esta circunferencia entre polígonos regulares, primero de forma inscrita (interior) y luego circunscrita (exterior). Para sistematizar el proceso, definiremos:

• $A_{P_n}$: Área del polígono regular exterior.
• $A_{p_n}$: Área del polígono regular interior.

El objetivo es demostrar que, a medida que el polígono aumenta su número de lados $n$, estas áreas se aproximan numéricamente hasta que, en el límite al infinito, ambas coinciden con el área del círculo:

$$\lim_{n \to \infty} A_{p_n} = A_{\text{circulo}} = \lim_{n \to \infty} A_{P_n}$$

Hallando $A_{p_n}$

Arquímedes comenzó con el caso más sencillo: un polígono regular de cuatro lados (un cuadrado inscrito). En este escenario, los vértices del cuadrado tocan la circunferencia, de modo que los segmentos que conectan el centro $O$ con los vértices $\overline{AO}, \overline{BO}, \overline{CO}, \overline{DO}$ son, en realidad, el radio $r$ de la circunferencia.

Podemos utilizar el Teorema de Pitágoras para hallar la longitud del lado del cuadrado:

$$\overline{BO}^2 + \overline{AO}^2 = \overline{AB}^2$$

Sustituyendo por el radio $r$:

$$r^2 + r^2 = \overline{AB}^2 \implies \overline{AB} = \sqrt{2}r$$

Por lo tanto, el área del polígono inscrito inicial ($n=4$) es:

$$A_{p_4} = (\sqrt{2}r)^2 = 2r^2$$

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ME GUSTA ESCRIBIR Y PUBLICAR LO QUE ESCRIBO PARA DESPUÉS TERMINARLO Y LEERLO PARCIALMENTE. ESTE ESCRITO AÚN ESTA EN CONSTRUCCIÓN.